斐波那契数列
扬州育才实验学校 陈俊
同学们，欢迎走进《名人名题长智慧》微课程。今天由陈老师带来第四讲斐波那契数列。
提到数列，大家可能想到的是一组数的排列，1、2、3、4、5…..，也可能是等差数列。那么，斐波那契数列是什么样子呢？看，1、1、2、3、5、8、13…..，也许你已经看到了规律。我想：你可能会好奇为什么这个数列起这样的名称？它又有什么作用呢？我们一起从它的背景来看。
识名人：
故事发生在800多年前的意大利，有一位商人叫斐波那契，他在当地很有名气。他的名气不是由于他生意做得成功，而是在于他也是一位有名的数学家。他用商人的头脑思考数学问题，发现了一些一般数学家没有发现的数学规律。
名人故事：
一天，斐波那契从市场上买回来一对小兔，打算养在自家的院子里。看着兔子，他开始幻想：假如这一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔，一年内没有发生死亡。一对刚出生的兔子，一年内繁殖成多少对兔子？
解名题：
听起来很有趣，同学们，你能试着解答吗？
如何解决这个问题呢？首先要了解这一年中，兔子的数量到底是怎样增长的。我们可以来模拟一下，并用表格记录下来。
……
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1月 |
2月 |
3月 |
4月 |
5月 |
6月 |
7月 |
8月 |
9月 |
10月 |
11月 |
12月 |
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小兔 |
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大兔 |
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合计 |
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1月：只有1对小兔，大兔为0对，合计1对；
2月：1对小兔长成1对大兔，小兔变为0对，大兔1对,合计1对；
依此类推：
3月：小兔有1对，大兔有1对，合计1+1=20对。
4月：小兔有1对，大兔有1+1=2(对)，合计1+2=3(对)；
5月：小兔有2对，大兔有1+2=3(对)，合计2+3=5(对)；
6月：小兔有3对，大兔有2+3= 5(对)，合计3+5=8(对)；
7月：小兔有5对，大兔有3+5=8(对)，合计5+8=13(对)。
同学们，是不是已经发现规律了？你能说出8月的兔子数量吗？
8月：小兔有8对，大兔有13对，合计21对。
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月份 |
1月 |
2月 |
3月 |
4月 |
5月 |
6月 |
7月 |
8月 |
9月 |
10月 |
11月 |
12月 |
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对数 |
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
34 |
55 |
89 |
144 |
把上面每个月的兔子对数记录下来，可以得到一个有趣的数列：
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、...
这组数有个十分明显的特点：前面相邻两数之和，就是后面的数。
后来，人们为纪念斐波那契的这个发现，把有这样规律的一列数称为斐波那契数列。斐波那契数列又是以兔子繁殖为例而引入的，故又称为“兔子数列”。数列的每一个数，则称为斐波那契数。
长智慧：
同学们，通过刚才的探索，我们初步认识了斐波那契数列的规律！其实“斐波那契数列”的探索研究，不只是针对加法计算问题，它需要人们从多角度去探索规律，感受神秘，以此激励自己不断发现。
它的发现过程是有趣的，其实在自然界中也有许多自然现象也与这个数列相联系，来看。
言：如自然界中树木的生长，由图可知新生的枝条，需要一段“休息”时间以供自身生长，也就是需要两个间隔能长出新枝，而老枝只需要一个间隔就能长出新枝。通过一株树木各个年份的枝桠数，便能发现斐波那契数列。
在自然界中，也有人发现：牵牛花的花瓣只有1枚，虎刺梅的花瓣是2枚。鸢尾花是3枚，梅花的花瓣是5枚，桃、李、樱、杏、苹果、梨等与梅同属蔷薇科的都是5枚，雏菊有的是13枚，还有的是34枚、55枚或89枚，向日葵有的是21枚,有的是34枚，其他数目的花瓣的花则很少，而这些花瓣数目正好是斐波那契数列当中的“斐波那契数”。
另外还有很多，如蜘蛛网、水流的旋涡、蜗牛壳的螺纹以及星系内星球的分布等也是按照斐波那契数列螺旋排列的。
显身手：
惊叹自然界神奇的同时，也许有人会问：它在数学领域有什么呢？我们一起来解决下面的问题，你会有新的发现。
题目：1、在斐波那契数列的前2015项中，一共有多少个偶数？有多少个奇数？
解答：由数列“1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、...”排列规律可知从第三个数起，前两个数加起来等于第三个数，即奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数，所以从第一个数起，以“奇数、奇数、偶数” 顺序排列，每三个数一组有规律的出现。那么前2015项，就用2015÷ 3= 671（组）……2（个），所以奇数有671×2+1=1343个，偶数有671×1+1=672个。
回顾探索过程，本题应用列举法，首先列出斐波那契数列前几个数，确定数列中的奇偶排列规律，利用奇偶排列规律得出前2015项中奇数、偶数的个数，解题关键是从简单现象规律到复杂问题探索。
听明白了吗？我们提高难度，挑战下一题。
思考：在1、1、2、3、5、8、13、21、34…这一组数的2015个数中，有多少个数是5的倍数？
解答：根据题意，列出此数列除以5的余数数列为:
1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1,
2，3...
观察余数数列发现，每5个余数为一组，这5个数的最后一个能被5整除；即用2015÷5= 403（组），每组中有一个数能被5整除，所以403组中有403个数是5的倍数。
通过列举，从简单中找到规律，在复杂中应用，得出最终答案。
P13 其实在解决实际问题中，也会有斐波那契数列。看，你能找到它吗？我们来试一试。
思考：一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级。要登上第10级台阶有几种不同的走法？
解答：
PPT呈现 台阶数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
走法数量 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
登上第1级: 1种
登上第2级: 2种
登上第3级: 1+2= 3种(前一步要么从第1级迈上来，要么从第2级迈上来)
登上第4级: 2+3=5种(前一步要么从第2级迈上来，要么从第3级迈上来)
同样道理，登上第5级: 3+5= 8种
登上第6级: 5+8= 13种
登上第7级: 8+13= 21种
登上第8级: 13+21 = 34种
登上第8级: 13+21 = 34种
登上第9级: 21+ 34= 55种
登_上第10级: 34+ 55= 89种。
故答案为: 89.
同学们，回顾这一类题型的解答过程，我们是先尝试列出前面几组数据，再通过试一试，算一算，发现数量间规律，由此找到解题关键，应用规律解决问题。
再仔细观察斐波那契数列“1、1、2、3、5、8、13、21、34…”中还有这样的规律------
8÷13≈0.616，89÷144≈0.618，144÷233≈0.618……
数列中相邻的两个数中，前面一个数除以后面一个数的商大约接近0.618，也就是数学中所谓的“黄金分割数”，这究竟是种巧合，还是存在某种必然，或者还有其他规律呢？这些都有待于我们今后去思考、去探索。
关于“斐波那契数列”的数学故事我就介绍到这里，同学们再见！
《斐波那契数列》课件
扬州育才实验学校 陈俊
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