高斯求和

扬州育才实验学校  陈育娴

同学们，欢迎走进《名人名题长智慧》微课程。今天由陈老师给大家带来第一讲：高斯求和。

识名人：

同学们，如果你是一位喜欢看数学课外书的小朋友，一定看到过“高斯求和”的故事。

高斯，是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。是近代数学奠基者之一，高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。

名人故事：

    当他还在读小学的时候，有一天数学课上，老师出了一道很繁杂的计算题：1＋2＋3＋4＋……＋100。他本来以为学生要算很久，可是没想到在他刚叙述完题目的时候，高斯马上就把写着答案的小石板交了上去。
    老师起初并没有特别在意高斯的答案，心想这个小家伙又在捣乱，但他发现全班居然只有高斯的答案是正确的，更让他吃惊的是高斯的算法。原来高斯发现了这个式子的一个规律:第一个数加最后一个数是101第二个数加倒数第二个数的和也是101，共有50对这样的数，用101乘以50就得到5050。这种算法是他未曾教过的计算方法。这次事件的结果，就是老师下课后特地跑去向校长汇报，还说自己没什么能教给高斯的了。

解名题：

小高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

　　1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

等差数列是什么。我们观察1＋2＋3＋4＋…＋99＋100这样的数列，很容易发现任意相邻的两个数的差（右边的数减左边的数）都是1，那么对于这样的数列，我们就叫它等差数列。

可以再列举一些等差数列，如1，2，3，4，5

还可以看出第一个数列由6个数组成，第一个数为1，最后一个数为5，我们定义每一个数都叫做这个数列的项，那么第一个数1就叫做首项，同理，最后一个数5就叫做末项，项的总数5就叫做项数。

聪明的高斯使用的求和方法就是我们今天要学习的高斯求和公式：

和=（首项+末项）×项数÷2。

1＋2＋3＋4＋5的和就是

＝（1＋5）×5÷2

＝15

按照小高斯的理解，这里用图形来演示就是：

这里的“首项＋末项”并不是指元算式中的首项与末项相加进行配对，而是指原算式中的首项与将原算式倒着写一遍后的末项进行相加配对，其实就是算一个长是6，宽是5的长方形面积的一半。我们用数形结合的思想推导出高斯求和公式就是（首项+末项）×项数÷2。

长智慧：

以“数”化“形”。由于“数”和“形”是一种对应，由于有些数量比较抽象，我们难以把握，而“形”具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维，起着解决问题的定性作用，因此我们可以把“数”的对应——“形”找出来，利用图形来解决问题。

显身手：

同学们，接下来我们用一道例题熟悉下公式：

例1    1＋2＋3＋…＋999＝？

分析：这串加数1，2，3，…， 999是等差数列，首项是1，末项是999，共有999个数。由等差数列求和公式可得

原式和=（1＋999）×999÷2＝499500

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的数列是不是等差数列，因为高斯求和只适用于等差数列。

大家有可能会想到，如果题目中的数列不知道项数是多少或者不知道末项是多少时怎么办呢？

例2     2＋5＋8＋...＋122＋125＝？

对于这一题首尾相加配成127，这一点没有任何技术上的困难，但关键的项数如何求呢？我们可以把这串数列用“直尺”的形式表示出来：

同学们可以清楚的看到，这个数列里的首项为2，就是数列里的第一号数字，末项125就是的第n号数字，这个n也就是我们要求的项数。

通过进一步观察可以发现，除了首项外，之后的线段数和这里的红点数是“一一对应”的，也就是说，我们只要先求得线段数，再加1，就是我们要求的项数了。首项2与末项125之间的距离就是125减去2，等于123。这里，每个单位线段的长度等于3，相当于这串等差数列中的公差。整个长度除以单位线段的长度，就是线段的数量了，也是这里红点数的数量，这代表着除首项以外的全部项数。最后，我们只要加上首项所代表的项数1，就是全部的项数了。

（125－2）÷3＋1＝42这就是“项数＝（末项－首项）÷公差＋1”。

2＋5＋8＋...＋122＋125

＝（2＋125）×42÷2

＝1524

12、我们还可以用这把“直尺”推出等差数列的其他公式。求公差，求首项，求末项，都可以用这把“直尺”来理解。数学从一开始就是研究“数”和“形”的。我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。”

关于高斯求和的数学故事我就介绍到这里，愿数学王子高斯与你们同在。同学们，再见！

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