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《名人名题长智慧》微课程——《牛吃草》
作者: 点击数:853 更新时间:2020年11月12日 文章录入:智慧数学
   

牛吃草

扬州育才实验学校   王小杰

 同学们,欢迎走进《名人名题长智慧》微课程。今天我们认识的是英国著名的物理学家牛顿。他在23岁时受苹果落地的启发,发现了万有引力定律。他总结出的牛顿三定律,为力学奠定了坚实的基础。

识名人:

他在数学方面也取得非常卓越的成就。他提出“流数法”,建立了二项式定理,并和莱布尼茨几乎同时创立了微积分学,为数学的发展开辟了新纪元。

名人故事:

今天老师带来了他的数学著作《普通算术》一书中,记载的一道关于牛在牧场上吃草的

牛在牧场上吃草,牧场上的草在不断地、均匀地生长,后人把这类问题称为“牛吃草问题”或叫做”牛顿问题”。这个问题简单地说是这样的:

牧场上有一片青草,每天的生长速度一样快。这片青草供10头牛吃,可以吃20天,或者供15头牛吃,可以吃10天。如果供25头牛吃,可以吃几天?

解名题:

为了更加清楚地理解题意,我们可以列表整理题目的条件和问题

数量

时间

总草量

10头

20天

原有草量+20天生长草量

15头

10天

原有草量+10天生长草量

25头

原有草量+?天生长草量

观察表格,可以发现要想知道25头牛可以吃几天,就必须知道原有草量生长草量,然而题目中并没有告诉我们这样的条件。如果我们假设1头牛1天的吃草量,就可以根据两个条件求出原有草量生长草量草量用千克、吨等计量单位当然很合适,但在这道题目里显然行不通。所以,为了便于解决此类问题,可以把1头牛1天的吃草量假设作一份。

那么10头牛20天可以吃10×20=200(份)草15头牛10天可以吃15×10=150(份)草。有同学可能会奇怪了,同样都是把草吃完,为什么吃草的总量不一样啊?

我们可以条件转化为线段图更直观地去观察。你明白为什么吗?


 

图中我们可以看出,第一次是10头牛吃了20天,草也长了20天;第二次是15头牛吃了10天,草只长了10天。正因为草多长了20-10= 10(天),其总量相差了200-150=50(份),也就是说,这10天里,草生长了50份,这样就不难知道草每天生长了50÷10=5(份)。

知道了每天新长的草量,接下来就可以求出这块草地原有的草量。第一种情况中,10头牛20天吃的总草量减去20天生长的草量就这块地原有的草量,是2005×20=100(份)。还可以这样求:150-5×10=100(份)。也就是第二种情况中,15头牛10天吃的总草量减去10天生长的草量

理清上面的思路,可以解决要求的问题了。

因为草每天生长5份,相当于让5头牛专吃这些新生长的草,不管是几天,生长的草量就让5头牛去吃。

那么剩下的20头牛就去吃草地原来的草,等原来的草吃完了,问题也解决了:100÷(25-5)=5 (天)。

可以验证一下:

草地总草量为:100+5×5= 125(份)。

牛吃掉的草量为:25×5= 125(份)。

到这里,关于“牛吃草”的问题就解决了。

长智慧:

类似“牛吃草”这一类问题往往都非常复杂,理解题目的意思都比较困难。所以我们可以运用列表的策略,将题中的条件和问题一一对应起来。

还可以运用画图的策略,帮助我们分析数量关系,因为数形结合能使数量之间的内在联系变得更加比较直观。

当然,解决牛吃草问题还离不开假的策略,只有先假设每头牛每天吃掉的草量为“1”,才能接着通过对题中条件的分析比较,求出原有的草量和单位时间生长的草量。

显身手:

同学们,在现实生活中,常常可以碰到类似吃草问题,你能运用这些策略解决下面这个问题吗?

有一个大水池的池底出现了一个窟窿,发生漏水现象,每分钟从窟窿里流掉一定量的水,需要马上修补。如果用5台水泵,5小时就能抽干水池里的水:如果用10台水泵,3小时就能抽干。现在需要1小时抽干水池的水,需要多少台水泵?

同学们,看完题目,你发现这个问题与前“牛吃草”问题的区别在哪里?前面讲的草每天都在长出来,可现在的水每分钟都在漏。根据牛吃草的解题思路,“原有的水量"相当于“原有的草”,“水泵的台数”相当于“牛的头数”。

列表或者画图整理条件和问题。

台数

时间

抽水量

5

5

原有水-5小时水量

10

3

原有水3小时水量

?台

1时

原有水1小时水量

通过比较总排水量,可以发现5台水泵5小时抽的总水量比10台水泵3小时抽的总水量的部分,是2小时漏出的水量。假设1台水泵1小时抽水量1份可以先求出每小时漏出的水量是:(10×3-5×5÷5-32.5(份)。

然后用总抽水量加上漏出水量求出原有水量是:5×5+2.5×5=37.5(份)或10×3+2.5×3=37.5(份)。

最后就可以求出1小时抽干需要的台数是:(27.5-2.5÷1=35(台)

同学们,在生活中,像这样的问题还有很多。在解决这类问题时,要善于运用我们学过的解决问题的策略,通过总量的对比分析,找出单位时间生长的草量和原有的草量这两个不变的量,最后来解决所要求的问题。

关于“牛顿的牛吃草问题”我就介绍到这里,同学们再见!

 

牛吃草》课件

扬州育才实验学校   王小杰

注:请您点击标题后直接打开文档或者将文档另存为本地文件后再打开。

视频播放地址:http://zy.gljsfz.com:8402/video.html#/?videoId=063b11ba-d586-405b-bb49-69e24dc5b518&flag=0&_k=magycc

 

   
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