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《名人名题长智慧》微课程——《杨辉三角与走最短路线》
作者:王懿 点击数:605 更新时间:2019年12月9日 文章录入:智慧数学
   

杨辉三角与走最短路线

名人名题长智慧

同学们,欢迎走进《名人名题长智慧》微课程。

识名人

名人介绍

今天我们认识的是南宋杰出的数学家杨辉。杨辉,字谦光,汉族,钱塘(今浙江省杭州)人。他曾担任过南宋地方行政官员,为政清廉,足迹遍及苏杭一带。他在总结民间乘除捷算法、“垛积术”、纵横图以及数学教育方面,均做出了重大的贡献。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。还曾论证过弧矢公式,时人称为“辉术”。与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”。

名人故事

据说有一天,杨辉收到一位友人的邀请,一起讨论数学问题。但是之前友人只给杨辉一张到他家的地图(AB),地图上只标明去他家的每条路线。杨辉发现地图中到友人家有好几条路线都是最短,而且不会重复,你知道一共有几条最短路线吗?

1

 


解名题

你有想法了吗?其实这道题目是要我们搞清路线 ,确保“不遗漏、不重复”,所以我们选择曾经学过的“一一列举”的方法,从AB的最短路线有以下6:

ACDGB     ACFGB      ACFIB

AEFGB     AEFIB      AEHIB

当然,这道题目是非常简单的,通过一一列举的方法,我们能够不重复、不遗漏的找出所有的路线,但是如果图形复杂些,做到“不重复”也会有困难。那么,解决此类问题是否有规律可循?让我们一起往下看。

1、看A:A到达C,最短路线只有一条路线。同样道理,AD、从AE、从AH也都只有一条路线。把数字“1”分H别标在CDEH这四个点上,如图2


2、看F:从上向下走是CF,从左向右走是EF,那么从A点出发到F点有两种走法:ACFAEF。在F点标上数字“2”。2=1+1,第一个“1”是从AC的一种走法;第二个“1”是从AE的一种走法。

3、看G:从上向下走是DG,从左向右走是FG,那么从AG有三种走法:ACDGACFGAEFG。在G点标上数字“3”。3=2+1,“2”是从AF的两种走法;“1”是从AD1种走法。

4、看I:从上向下走是FI,从左向右走是HI,那么从AI有三种走法:ACFIAEFIAEHI。在I点标上“3”。3=2+1,“2”是从AF的两种走法;“1”是从AH1种走法。

5、看B:从上向下走是G-B,从左向右走是IB,那么从AB有六种走法:

ACDGBACFGBAEFGB

AEFIBACFIBAEHIB

B点标上“6”。6=3+3,第一个“3”是从A-G共有三种走法,第二个“3”是从AI共有三种走法。 

现在我们再来观察图3,不难发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和,这就是杨辉三角的特征,如图3

                     


 

长智慧

杨辉三角与路线这类题目所体现的数学思想叫做归纳法。它的特点是:由个别到一般的推理。可以从许多个别的事物的观点过渡到范围较大的观点,由特殊具体的事例推导出一般原理、原则的解释方法。自然界中任何事物间的规律都具有特殊性。因此,我们只有先通过认识特殊,才能认识一般。

显身手

我们运用“杨辉三角”来解决这种问题,既简单又准确,让我们来试试吧:

图中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道。小明上学走的方向都是向西或向北。小明从家到学校可以有多少条不同的线路?


为了叙述的方便,我们在各交叉点标上字母(见图4),我们从小明家出发,顺序往前推,由于从小明家到ABCD各处都是沿直线行走,所以都只有一种走法。我们分别在交叉点处标上“1",而从小明家到E处,就有先到A或先到D的两种走法,正好是两个对角上标的数1+1的和;从小明家到F点,则有3条路线,又正好是两个对角上标的数1 +2的和;标在各交叉点的数,就是依次顺序推出的到各交叉点能有多少种不同的路线的数,小明从家到学校可以有13条不同的线路。

 


听明白了吗?我们继续来看下一题。

5是一个由18个直角三角形拼成的正方形,有一只蚂蚁从A点出发, 沿图上的线段爬行到B点,这样爬行的最短线路有几条?


同学们,你会写出对应的杨辉三角吗?

是这样吗?


同学们,“杨辉三角”不仅仅可以帮助我们解决这类题目,在计算机编程方面也有卓越的贡献,有兴趣的同学可以继续研究!

关于“杨辉三角”的数学故事我就介绍到这里,同学们再见!

杨辉三角与走最短路线》课件

扬州育才实验学校 王懿

注:请您点击标题后直接打开文档或者将文档另存为本地文件后再打开。

视频播放地址:http://tv.efujin.net/mobile/play.php?vid-80330-playgroup-1-index-4.html

   
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