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《名人名题长智慧》微课程——《陈景润与哥德巴赫猜想》
作者:陈俊 点击数:391 更新时间:2019年12月9日 文章录入:智慧数学
   

陈景润与哥德巴赫猜想

名人名题长智慧

同学们,欢迎走进《名人名题长智慧》微课程。

今天由陈老师带来第四讲 陈景润与哥德巴赫猜想

识名人

名人介绍

陈景润是我国现代著名的数学家,他少年时在一次数学课上,他接触到“哥德巴赫猜想”,就下定决心攻克这道难题。陈景润凭借专研精神和不懈努力,终于在1966年证明了“哥德巴赫猜想”中的关于任何一个充分大的偶数都可表示成两个质数的和或者是两个质数乘积的猜想。他的这一成果居世界“哥德巴赫猜想”研究的领先地位,被国际上誉为“陈氏定理”,同时,他走到了证明“哥德巴赫猜想”的世界最前沿,得到了国际数学界的一致认可。

名人故事

你一定觉得很奇怪,我们都知道偶数和奇数,也都知道质数和合数,这些不都是最容易的吗?为什么这样一道 题就成了世界难题呢?确实,以同学们现在的水平还很难理解。我们可以从简单的现象入手,来了解陈景润证明的这个“哥德巴赫猜想”。

请看,你能把“100”这个偶数,写成两个质数的和吗?

解名题

同学们,你能试着解答吗?

在这里,我们可以列举出100以内的质数,共25个,再把相加后和是100的两个质数找出来。

100=3+97=11+89=17+83=29+71=41+59=47+53

这里只是其中一个例子,请你再举几个大于或等于6的偶数出来,把它们写成两个质数的和,相信你一定行!

62=3+59,  84=___+___

_____=___+___=___+___

老师这里出题:把20写成两个质数的和,把50写成一个质数与两个质数的积的和。

20=  +  =  + 

50=  +  )×(  =  +  )×( 

解答:先列举出20以内的质数——235711131719。从中,我们不难发现,20可以由3+177+13完成。

同样解答第二题时,可以列出50以内的质数——23571113171923293137414347,15个,通过“奇数×奇数=奇数”特征,排除填2的可能,再通过“奇数+奇数=偶数”特征,思考(  +  =50,这里可以尝试出 29+213×7)或17+333×11)。

其实,这样的偶数实在太多了,因为很多年前就有人对33×108(也就是3564)以内且大于2的偶数一一进行验算,结果“哥德巴赫猜想”都可成立。

这里,数学上我们可以把大于2的偶数(也叫“偶合数")写成两个质数的和,那么奇合数(915这样,既是合数且又是奇数的数)能不能写成两个质数的和呢?让我们一起来试一试。

通过“奇数+偶数=奇数”的奇偶特征,可以得出奇合数写成两个质数的和,其中一个质数一定是2,只有2既是质数又是偶数。

因此,我们能找到这样的数,如9=2+7,13=2+11,81=2+79,..

全部都符合吗?很明显,像35=2+33,51=2+49,57=2+55,其中一个加数却是合数。

从上面的例子可以知道,偶合数能写成两个质数的和且是“奇数+奇数”,奇合数不一定能写成两个质数的和。

长智慧

同学们,通过刚才的探索验证,你们是否对数之间规律有了更深的认识呢?其实“哥德巴赫猜想”的探索研究,它不是针对哥德巴赫猜想猜想问题本身,而是需要人们跳出原有思维的束缚,从简单现象规律到复杂问题探索,从而对“创新数学领域”的一种深入认识,以此不断进行研究。

显身手

有了初步的认识,你是否还想进一步研究?请同学们一起来解决下面的问题,你会有新的发现。“哥德巴赫猜想”告诉我们每个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和。这里老师出题:把37拆成若干个不同质数的和,有多少种不同的拆法?

解答:首先我们可以先尝试列出37以内的质数——235711131719232931,一共11个。

由于2+3+5+7+11<37,而2+3+5+7+11+13> 37。因此最多拆成5个不同质数之和,但由于37是奇数,拆除的5个不同质数中不能有偶质数2,否则其余4个奇质数之和为偶数,这5个质数和为偶数,不可能等于奇数37,而3+5+7+11+13=39> 37。因此最多拆成4个不同质数之和,为此,我们依照被拆出的最大质数从大到小依次研究:

(1) 37=31+6  6不能用235相加得到)

(2) 37=29+8=29+5+3, 只有一种拆法

(3) 37=23+14=23+11+3=23+7+5+2, 共有两种拆法;

(4) 37=19+18,而18=13+5=13+3+2=11+7=11+5+2

所以,有:37=19+13+5=19+13+3+2=19+11+7=19+11+5+2,共有四种拆法;

(5) 37=17+20, 而20=13+7=13+5+2=11+7+2,所以有:37=17+13+7=17+13+5+2=17+11+7+2,共有三种拆法;

综合以上可以得到: 1+2+4+3=10 ()不同的拆法。

回顾探索过程,本题应用列举法,首先将小于37的质数,由小到大排列出来,然后确定能拆成不同质数个数的范围,再依照被拆出的最大质数从大到小依次研究即可得出答案,解题关键是做到不重复不遗漏,有序选择并列举出各种情况。

听明白了吗?我们提高难度,挑战下一题。

思考:168是哪两个两位质数的和,并且其中一个质数的个位数为1?

解答:两位质数是指这个数既是两位数又是质数,同样,通过列举写出个位数为1的两位质数有哪些呢?1131416171

然后再反过来思考另一个数:

168-11=157    168-31=137     168-41=127

168-61=107    168-71=97

只有97是两位质数,故本题答案唯一。

实际上,107127137157都是质数,168还可写成11+15731+137,41+127,61+107,但这几个算式中的加数不是两个两位质数。

同学们,如果去掉“末位数为1”这个条件,本题会出现怎样的结果呢?

解答:如果168要写成两个两位质数的和,则这两个两位数有什么特征呢?

它们都必须大于68(否则,若某一个小于或等于68,则另一个大于或等于16868,不是两位数,而是三位数,显然不符合要求)

又因为,这两个两位质数中较小的一个应小于或等于(168÷2)=84,所以只要在6884之间找出符合条件的质数即可,6884之间的质数有71737983

然后,168-71=97,168-73=95,168-79=89,168-83=85,其中9585为合数,不符合条件;7197,7989分别是一对质数,因此它们就是问题的两组答案。

如果再去掉“两个数都是两位数”这个条件,还会有答案吗?

请同学们可以课后找一找。

同学们,回顾这一类题型的解答过程,我们是先根据数据大小的特征缩小范围,然后再列出符合条件的质数,通过试一试,算一算,发现数量间规律,就能找到解题关键了。

关于“陈景润与哥德巴赫猜想”的数学故事我就介绍到这里,同学们再见!

陈景润与哥德巴赫猜想》课件

扬州育才实验学校 陈俊

注:请您点击标题后直接打开文档或者将文档另存为本地文件后再打开。

视频播放地址:http://tv.efujin.net/mobile/play.php?vid-80330-playgroup-1-index-4.html

   
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