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《名人名题长智慧》微课程——《王冕取环》
作者:王小杰 点击数:1057 更新时间:2019年12月9日 文章录入:智慧数学
   

王冕取环

名人名题长智慧

同学们,欢迎走进《名人名题长智慧》微课程。

识名人

名人介绍

今天我们认识的是元代著名画家、诗人王冕。王冕,字元章,号煮石山农,亦号食中翁、梅花屋主等,浙江省绍兴市诸暨枫桥人。王冕性格孤傲,鄙视权贵,诗作多同情人民苦难、谴责豪门权贵、轻视功名利禄、描写田园隐逸生活之作。他一生爱好梅花,种梅、咏梅,又攻画梅。所画梅花花密枝繁,生意盎然,劲健有力,对后世影响较大。

你们知道他小时候是什么样的吗?(出示王冕在学堂外听课的图片)王冕小时候家境贫寒,替人放牛,没有书读,常常躲在学堂门外,听先生讲课。(出示王冕放牛画荷花的图片)他聪明刻苦,放牛时,牛儿去吃草,他便独自在池边,临摹池中荷花。最终成为远近闻名的大画家。今天老师带来了和王冕放牛有关的小故事。

名人故事

(出示文字与图示)

传说,王冕小时曾为一个财主当雇工,讲明的条件是:每月以一个银环作工钱。

当王冕做完了一个月工作后,财主却拿了一串银环出来,在他面前晃了晃,说:“喏,这都是你的工钱,但是有个条件:这七个银环只准断开其中一个,你每月也只能取走一个。当月付清当月的工钱,不拖不欠。假如你违反规定,不但拿不到工钱,还要把已经付出的全部收回。”

王冕一听,这显然是在刁难他。但是穷人又上哪去讲理?他只得答应照办。

为了挣钱活命,他每天一面给主人辛勤劳动,一面思考着怎样才能按月取走工钱。

后来,他终于想到了办法,在七个银环中只断开一个,以后每月都如数地取走一个银环的工钱。

王冕用了什么办法呢?

解名题

要解决这个问题,首先需要理解“这七个银环只准断开其中一个,你每月也只能取走一个。当月付清当月的工钱,不拖不欠。”这句话,你是怎么理解的呢?其实就是只有一个银环可以断开,而且每个月只能取走一个,不能多也不能少。

为了表述方便,我们先给每个银环标上一个号码。根据要求,王冕有七种不同的断环方法,那他断开的是第几个银环?又是如何取环的?问题比较复杂。因此我们可以先从简单的想起。

先假设王冕只做了3个月,财主拿出的银环是3个一串的。只断开1个,同时每月只拿走1个。你想到办法了吗?

可以把编号为1号的银环断开,我们可以把这样的断开方法记成(12),也就是把银环分成编号为11个和编号为23的两个一串。第一个月直接取走1号银环。问题是第2个月,现在只有一串两个银环,如果拿走了就多取了一环,应该怎么取呢?对了,取走2号和3号以后,只要还回1号银环,就刚刚好。第3个月就取剩下的1号银环。这样3个月每月都只取1个。我们可以将第二个月取法称为“多取后还回”。

当然,我们也可以把编号为2号的银环断开,这样就把1串银环变成3个独立的银环,每月取走1个就可以了。这种方法可以记成(111)。而把编号为3号的银环断开后,情况和断开编号为1号的银环重复,不用再考虑。

再假设王冕只做了4个月,财主拿出的银环是4个一串的。同样每月取走1个,当月付清。你想到办法了吗?

不难想出,断开银环的方法可以是(13)或(112),也就是断开编号为1的银环或断开编号为2的银环。从图中可以发现,第一种方法银环分成了1号一个,2~43个一串,没有办法得到第2个月共取走2个银环的情况。而第二种分法,第一个月取1个,第二个月取1个,第三个月取2个还1个,第四个月取走剩下的1个。也可以第一个月取1个,第二个月取2个还1个,剩下两个月每月取走1个。

同样的道理,如果是5个一串,我们就有(113)和(212)两种断开银环的方法。不管是哪一种,我们都能用“多取后还回”的策略使得每个月只取走1个银环。

同学们,现在你对这样的方法有所了解了吧?我们把3个环到5个环的断环方法进行整理并归纳到下面的表格中,聪明的你有什么发现了吗?

总环数

方法1

方法2

3

12

111

4

112

 

5

113

212

相信你肯定已经发现,每种方法种总有“1”出现,而且有一个“1”往往是断环点。当然,我们也不难发现,有两种不同的断环方法。方法一是(11n),也就是断开编号为2的环。方法二是(n12),可以是断开倒数第3个环,也可以是断开第3个环。

这两种方法,当环数增加到6个或7个时,还能成功吗?让我们继续来试一试。

如果是六连环,采用(114)的方法,断开2号环,分成编号为1的一个、编号为2的一个和编号3-64个一串。到了第3个月时就会出现问题,因为取走4个一串后,需要还回3个银环,而此时只有2个银环,全部还回还多取了1个银环。这说明方法一到了6个环时就不可行。如果采用方法二,断开3号银环,分成编号1-22个一串、编号为3的一个和编号4-63个一串。这时,第一个月取走1个,第二个月取走2个后还回1个,第三个月取走3个后还回2个,第四个月取走1个,第五个月取走2个后还回1个,第六个月取走剩下的1个。

看来方法一的规律可以排除,方法二的规律在延续,我们将方法二再次整理,你能有新的发现吗?

总环数

方法二

3

210

4

211

5

212

6

213

仔细观察,我们可以发现分成的银环个数能组成1~总环数的任意自然数。如:(213)可以组成1~6的任意自然数,除已有的123外,13组成423组成5123组成6;(212)除已有的12外,12组成322组成4122组成5,也可以组成1~5的任意自然数。

如果是七连环,根据方法二,断开3号银环,得到(214),除已有的124外,12组成314组成524组成6124组成7,用银环个数能组成1~7的任意自然数。我们可以进一步检验:第一个月取“1”,第二个月取“2”还“1”,第三个月取“1”,第四个月取“4”还“3”,第5个月取“1”,第六个月取“2”还“1”,第七个月取“1”。

到这里,关于“王冕取环”的问题就解决了。

长智慧

类似“王冕取环”这一类问题往往都比较复杂,直接找出结果都比较困难。解决这类问题可以先从最简单的若干情况入手,然后从某一种特殊情况逐渐推出与复杂情况之间的关系,寻找一般的规律,再运用规律解决问题,这样的方法叫“递推法”。当然列表可以将有关信息依次对应地列举出来,有利于我们发现数量之间的关系,从而发现规律。

显身手

接下来我们一起尝试用“递推法”解决问题:

平面上20条直线最多有几个交点?

同学们,第一眼看到这个问题时,是否会想画20条直线相交,然后再数交点个数?那得多么麻烦啊!其实我们可以先来解决简单点的情况,分别找到1条、2条、3条、4条……直线有多少个交点。  

直线条数

1

2

3

4

5

……

交点个数

0

1

3

6

10

……

通过画图,可以知道 1条直线最多有0个交点,2条直线最多有1个交点,3条直线最多有3个交点,4条直线最多有6个交点,5条直线最多有10个交点。仔细观察,不然发现交点个数依次加1234、……,所以平面上,20条直线最多有123+……+19190个交点。

听明白了吗?我们继续来看下一题。

一个楼梯共有10级台阶,规定每步可以迈一级或两级台阶,要登上这10级台阶,共有多少种不同的走法?

同学们,从简单情况入手,看看能否找到合适的突破口。如果一共有1级台阶,只有1种走法。如果一共有2级台阶,有2种走法,可以迈两次,每次迈一级,还可以直接迈两级。我们可以把这两种走法记作(11)和(2)。如果一共有3级台阶,我们就有(111)、(12)、(21)这3种走法。如果共有4级台阶,我们就有(1111,)、(112)、(121)、(211)和(22)这5种走法。

台阶数

1

2

3

4

 

 

 

走法

1

2

3

5

 

 

 

如果将这几种情况整理到表格中,可以发现前面2个数相加的和正好等于第3个数。那么一共有5级台阶时,就应该有358种走法。我们可以列举验证:(11111)、(1112)、(1121)、(1211)、(2111)、(122)、(212)、(221),一共有8种走法,规律在延续。我们接着递推,6级台阶有5813种走法,7级有81321种,8级有132134种,9级有213455种,10级有345589种。

同学们,我们今后会遇到许多复杂的问题,直接处理比较困难。比较有效的策略是递推:先考虑该问题的简单情形,在解决简单情形后,再考虑如何利用简单情形的结论来解决更复杂的问题!

关于“王冕取环”的数学故事就介绍到这里,同学们再见!

王冕取环》课件

扬州育才实验学校 王小杰

注:请您点击标题后直接打开文档或者将文档另存为本地文件后再打开。

视频播放地址:http://tv.efujin.net/mobile/play.php?vid-80330-playgroup-1-index-0.html

   
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