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数学的四个公式
作者:智慧数学研究所 陈士文 点击数:2979 更新时间:2017年2月20日 文章录入:智慧数学
   

数学的四个公式

智慧数学研究所    陈士文

数学学习,从小学开始,升入初中,再读到高中,十二年的学习历程,遇到的数学公式数以百计。

公式如此之多,而“数学的目的就是用简单而基本的词汇尽可能多地解释世界……如果我们积累起来的经验要一代一代地传下去的话,我们就必须不断地努力把它们加以简化和统一。”(英国数学家阿蒂亚语)这促使我们一直在思索:

根本性、基础性的数学公式是什么?

代表性、典型性的数学公式是什么?

影响世界或改变历史的数学公式是哪些?

记忆深刻或印象美好的数学公式是哪些?

回望历史,已有先知先觉者的记载:一是英国杂志社发起(具体年份待考)的“最伟大的公式”评选,二是1971年尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”的邮票。

英国科学期刊《物理世界》曾发起世界“最伟大的公式”投票活动,全球读者按照典雅性、引申力和影响力的投票要求,选出他们认为最重要、最伟大的公式和定理。[1]

最终榜上有名的十个公式是:

1. 麦克斯韦方程组;

2. 欧拉公式;

3. 牛顿第二定律;

4. 勾股定理(毕达哥拉斯定理);

5. 质能方程;

6. 薛定谔方程;

7. 112

8. 德布罗意方程组;

9. 傅立叶变换;

10. 圆的周长公式。

作为一名小学数学教师,限于知识结构水平及教学工作中能触及到的学科领域,感觉最为亲切、最为熟知的公式也许是下面四个,即:

1. 112

2. 勾股定理(毕达哥拉斯定理)——a2b2c2

3. 圆的周长公式——C2πr

4. 欧拉公式——eiπ10

没有想到112也是数学公式,而且排名居然位列第七。圆的周长公式其实并不伟大,因为圆周率就是周长与直径的比值,自然得出C2πr,真正伟大的是圆周率的研究与发现(后文再叙)。勾股定理确实历史久远,而且是中外呼应,不约而同地引起数学家们广泛的兴趣。最具魅力的公式是eiπ10,以至于当高斯见到欧拉公式时也惊奇道:“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力,他不可能成为数学家。”

我们不是数学家,只是想从一名小学数学教育工作者的角度来品鉴数学公式,领悟数学,上述四个公式还不完全是此篇文稿所要表述的四个数学公式。

我们再来回望历史,1971515日,尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”的邮票,用来表彰对世界发展极有影响的数学公式,它们由一些著名的数学家选出,这十个数学公式分别是:[2]

1. 手指计数基本法则

1+1=2”是这套邮票的第一枚邮票,这是人类一开始对数量认识的基础公式。人类的祖先就是从这一公式开始,堆石子,数贝壳、树枝、竹片,而后刻痕计数,结绳计数等,直至再后来创造文字、数字及计数工具算盘、筹算、计算器等。记数法与十进制的诞生是文明史上的一次飞跃。

2. 勾股定理(毕达哥拉斯定理)

直角三角形的直角边分别为ab,斜边为c,则a2b2c2,这就是著名的勾股定理,国外称之为“毕达哥拉斯定理”。勾股定理的一大影响就是无理数的发现。

3. 阿基米德杠杆原理

第三枚邮票表彰的数学公式是:F1X1F2X2,其中F为作用力,X为力臂,FX即为力矩。只要动力臂足够长,而阻力臂足够短,就可以用足够小的力撬动足够重的物体。为此,阿基米德曾放言:“给我一个支点,我就能撬动地球。”

4. 纳皮尔指数与对数关系公式

对数关系公式即为纳皮尔公式,其中e2.71828……对数的发明者是苏格兰业余数学家纳皮尔男爵。伽利略有过这样的感慨:“给我时间、空间和对数,我可以创造出一个宇宙来。”

5. 牛顿万有引力定律

第五枚邮票立即使人联想到那个早已家喻户晓的牛顿和苹果的故事,一个苹果偶然从树上掉下来,这却是人类思想史的一个转折点,牛顿发现了对人类具有划时代意义的万有引力定律。

6. 麦克斯韦电磁方程组

第六个公式是麦克斯韦电磁方程组,麦克斯韦是继法拉第之后集电磁学大成的伟大物理学家。

7. 爱因斯坦质能关系式

Emc2,这里c为光速,m为质量,E为能量。这就是后来最著名的质能关系式,是制造原子弹的理论基础。

8. 德布罗意公式

第八枚邮票表彰的公式是1924年德布罗意提出的表达波粒二象性的公式。德布罗意本来是学历史的,受数学家庞加莱的影响而改学科学,为波动力学的发展提供了重要的理论基础。

9. 玻尔兹曼公式

1854年德国科学家克劳修斯首先引入熵的概念,1877年,玻尔兹曼给出公式SkLnW。由于观点新颖,一开始不为许多著名学者接受,玻尔兹曼为之付出了巨大的代价,成为他个人悲剧(自杀)的重要原因。后人把玻尔兹曼公式刻在他的墓碑上,以表彰他的伟大创见。

10. 齐奥尔科夫斯基公式

齐奥尔科夫斯基(前苏联)是宇航理论先驱者,他建立了火箭结构特点与飞行速度之间的关系式,即著名的齐奥尔科夫斯基公式。他有一句令人难忘的话语:“地球是人类的摇篮,但是人不能永远生活在摇篮里。”

历史和现实都在见证着:十个数学公式改变了世界面貌。绝对是“文明史上的飞跃”“划时代意义”,世界的进步与发展犹如“撬动地球”“创造出一个宇宙”,未来人类“不能永远生活在摇篮里”,一定可以走出地球。

有了“最伟大的公式”的民间评选,也有了数学家们推出的“改变世界面貌的十个数学公式”,两者结果加以比照,发现“最伟大的公式”与“改变世界面貌的十个数学公式”中共同入选的有五个公式,即:

1. 112

2. 勾股定理(毕达哥拉斯定理);

3. 麦克斯韦方程组;

4. 德布罗意方程组;

5. 质能方程。

我们发现五个公式中,麦克斯韦方程组、德布罗意方程组、质能方程三个公式是物理学领域的,狭义的看,数学公式只有两个:112和勾股定理(毕达哥拉斯定理)。

普通读者的民意,数学家们的高见,人们可以从浩繁中淘漉出“伟大的公式”和“改变世界面貌的公式”来,这给了我们更多的启示,回顾十二年的数学学习,想到了四个数学公式,它们是:

1. 112

2. 324252

3. anbncn

4. eiπ10

为什么想到它们四个呢?当我们打开《数学——它的内容,方法和意义》一书时,发现其中有这样一段发问:[3]

抽象的数学概念反映什么东西?换句话说,数学的现实对象是怎样的?

为什么抽象的数学结论如此令人确信无疑,而原始的概念又如此显然?换句话说,数学方法的基础是什么?

为什么数学尽管如此抽象,却有最广泛的应用,而不是空洞的抽象把戏?换句话说,数学的意义从何而来?

最后,什么样的力量推动数学的发展,使它把抽象性和应用的广泛性统一起来?换句话说,数学发展过程的内容是什么?

四个问题直指数学的现实对象、数学的发展过程、数学的意义、数学的方法,书中的发问引发了我们的思考:数学是什么?数学为什么?数学怎么样?数学从哪里来?数学将何处去?除了引经据典洋洋洒洒地阐述外,能否有简洁明晰的回答方式?能否寻找朴素的元素来表达数学的意蕴?

我们想到了公式,因为公式是数学独特的“语言”,我们试图借用112324252anbncneiπ10四个公式,品鉴领悟数学的本质。

品鉴领悟:112

112绝对是数学中最简单的公式,简单的背后蕴藏着奇崛与艰辛,正如王安石诗句所云:“看似寻常最奇崛,成如容易却艰辛。”

从数石子摆小棒到刻痕,由原始之物走向人工记号。从冗长笨拙的罗马数字到简明有限的印度数字(阿拉伯数字),由繁琐庞杂走向简洁系统。当人们从“一条”“一根”“一片”“一张”“一块”“一丝”“一组”“一行”“一个”……中抽出“1”的时候,已完成从“量”到“数”的飞跃。“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西(数字2)时,数学就诞生了。”(英国数学家罗素语)所有这一切包含着人类思维艰辛而又漫长的进化。

112到底奇崛在何处?一是数学的抽象,二是数学的创造。这里可借用《数学——它的内容,方法和意义》一书中的话语:[4]

第一,数字符号的作用就在于它们给出了抽象数概念的简单的具体化身。

第二,数字符号给出了非常简单地实现各种数字运算的可能性。

如果没有合适的数字符号就不能将算术推向前进。尤其是如果没有专门的符号和公式简直就不可能有现代数学。

现在,我们可以简单而又武断的说,没有112,就没有数学。 “数学在本质上研究抽象的东西,数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象,这种抽象了的东西就是数学研究所必须定义的最基本的概念。”[5]

抽象、推理、模型是数学三大基本而又主要的思想,“通过抽象把外部世界引入数学,通过推理促进了数学本身发展。[6]通过模型建立了数学与世界的联系。

112是数学最早的杰作,堪称抽象、推理、模型三大数学思想的代表,抽象有了数字:12;推理出现了等式:等于符号;并还建立了联系世界的最基本的结构:加法。

品鉴领悟:324252

勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理,是数形结合思想的典型体现,其中最著名的例子是“勾三股四弦五”(如图)。从图中可以看出,直角三角形的内切圆半径是1,直径是2。数字12345,如天意一般齐聚在三角形中。

在商高时代古人就已经知道“勾三股四弦五”的关系,中国古代称短的直角边为勾,长的直角边为股,斜边为弦。据西汉时期算书《周髀算经》记载,约公元前1100年,人们已经知道如果勾是三,股是四,那么弦就是五,即:324252

严格意义上讲,324252只是一个等式而非公式,是一个个例而不是通项公式,当a2b2c2出现时方能称其为勾股定理。

第二个公式为何是324252,而不是a2b2c2呢?因为“勾三股四弦五”几乎是勾股定理的别称,324252作为勾股定理的最早代表,有着特别的意义。

其一,324252数中有形,不是简单的测量和测算中的从“数”到“形”(或从“形”到“数”),而是数与形的和谐,是最简洁最直观的“数形结合”思想的体现,是研究拓展的开始,从此人类思维联结了“数量关系”与“空间形式”两大数学领域。

其二,324252是勾股定理的范例,它已成为人类智慧语言的符号。数学家华罗庚先生曾建议用“勾三股四弦五”图作为语言发射到宇宙太空,用以寻找茫茫星空中的智慧生命。

起初:古希腊数学家毕达哥拉斯从地砖图案中得到启发,发现了勾股定理;后来:西方人希帕索斯根据勾股定理发现了第一个无理数,导致第一次数学危机;现在:勾股定理图已作为智慧的象征和宇宙的语言。

品鉴领悟:anbncn

324252转换升级成a2b2c2时,字母替代了数字。字母表示数,标志人类由算术到代数的飞跃,字母的出现有着里程碑式的意义。

324252a2b2c2,诞生了一个数学定理,而当anbncn出现时,诞生了一个世界数学猜想——费马猜想。费马猜想、四色猜想、哥德巴赫猜想被公认为世界三大数学猜想。

费马猜想是怎么回事呢?

法国数学家费马在阅读丢番图《算术》时,曾在空白处写有这样一段话:“将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。关于此,我确信已发现了一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下。”

费马断言当整数n2时,方程anbncn没有正整数解。由于费马没有写下证明,因而断言成为了猜想。

如果没有猜想呢?数学家希尔伯特说:“只要一门科学分支提出大量的问题,它就充满着生命力,而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰亡。”没有猜想就预示着“终止或衰亡”。

数学上的猜想不同于文学上腾云驾雾的神话,猜想的“飞天”之路,不是借助天然的云雾,而会创造出诸如火箭、飞船、空间站式的杰作。猜想的求证过程有着“下金蛋”般的收获。

三大数学猜想中最早出现的是费马猜想,它是a2b2c2的直觉激发,猜想引发了许多数学家的兴趣,数学家们的工作丰富了数学,推动了数学的发展。猜想历经三百多年后,最终由英国数学家安德鲁•怀尔斯证明时,已是1995年。至此,猜想也改称费马大定理。从猜想到定理,数学的发展需要想象,数学的推动离不开证明。“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙地结合在一起,受控制的精神和富有灵感的逻辑正是数学的魅力所在,也是数学教育者努力的方向。”(伊恩•斯图加特语)

品鉴领悟:eiπ10

欧拉公式eiπ10,自然是数学家欧拉发现的公式,这也是唯一以欧拉命名的公式,数学家们评价它是“上帝创造的公式”,“上帝”在公式中创造了什么呢?

1. 公式中有自然常数e

2. 公式中有圆周率π;

3. 公式中有虚数单位i和自然数单位1

4. 公式中有中心数0

5. 公式中有最基础的运算符号“+”;

6. 公式中有最重要的关系符号“=”。

我们发现欧拉公式联系着几乎所有的数学知识,堪称世界上“最伟大的数学公式”和“最完美的数学公式”,它是最令人着迷的一个公式,迄今为止,没有之一。

在这个“上帝创造的公式”中有三个字母,即圆周率π、虚数单位i、自然常数e,它们从哪里来?又有什么意义呢?

圆周率的历史。

圆周率是一个常数,是圆周长和直径的比值,其结果是无限不循环小数,是一个无理数

公元263年,中国数学家刘徽割圆术计算圆周率,他先从圆内接正六边形开始,逐次分割,一直算到圆内接正192边形。其过程与追求正如刘徽自述:割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。

公元480年左右,南北朝时期的数学家祖冲之进一步推进研究,圆周率π已精确到小数点后7位,界定在近似值3.14159263.1415927之间,并还给出了两个近似分数,即圆周率π约率和圆周率π密率

现代人借助计算机已能轻松地得到圆周率小数点后任意多位, “精确”已不是现实的需要。

回顾圆周率的历史,不只是欣赏圆周率小数点后位数的增多,而是品鉴圆周率在数学上的独创之处。圆周率的出现,我们从“直”逼近到“曲”,实现了方与圆的沟通,曲与直的转换。圆周率研究中的“割圆术”,是人类历史上首次将极限和无穷小引入数学,人类的思维从有限伸展到无限之中。

虚数的创造。

“虚数”这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔首创的,当时的观念认为这是不存在的数字,后来发现虚数可对应平面上的纵轴,与对应平面上横轴的实数同样真实。德国数学家莱布尼茨曾这样说:“虚数是理想世界的奇异创造,是一个介于存在与不存在之间的两栖物。” 从数的扩展进程看,虚数不“虚”。藉此说明:数学是“发明”后的“发现”。

虚数如何“发明”?又怎么自然“发现”?对此,我们设计了这样一个教学片段。

师:同学们,小学的时候,32我们都会,如果23怎么办?引进了一个什么新数?

生:23=-1,这时我们知道了负数。

师:负数的出现,自然数系扩充为整数系,保证了减法运算的封闭性。

师:同学们,小学的时候,10÷2我们也会,如果10÷3是怎么办的?这时出现了一个什么新数?

生:10÷25,结果是自然数,10÷3,这时分数出现了。

师:分数的出现,整数系扩充为有理数系,保证了除法运算的封闭性。

师:有理数中,4的开方是2,8的开方是多少呢?你发现了什么?

生:8的开方是2,这时无理数出现了。

师:无理数的出现,保证了开方运算的封闭性,有理数系扩充为实数系。

师:8的开方是2,那-8的开方是多少呢?它好开方吗?

生:不好开方。

生:负数没有办法开方。

师:真的没有办法?23时,我们怎么办的?10÷3时,我们怎么办的?8的开方,我们怎么办的?难道-8的开方就没有办法?

生:引进一个新数或者是创造出一个数,使它的平方等于-1

师:对,我们曾经引进过负数、分数、无理数,今天我们再引进一个新数。

师:引进一个新数,新数的单位是ii的平方等于-1。那是多少呢?

生:i

师:=?

……

师:我们创造出一个数,称之为虚数。虚数的出现,保证了负实数开方运算的封闭性,实数系扩充为复数系。

虚数不同于自然数那样,是从现实世界中抽象出来的,而数学的内部发展与思辨特征自然会出现虚数,这正如恩科斯所说:“当达到理性本身自由创造和想象的产物,这就是——达到虚数。”

教学片段中虚数的引入是在回顾人类数学创造的历史进程,数学是彻头彻尾的创造,是在描述世界解释世界之上的思维创造。

自然常数的意义。

自然常数e,约为2.71828,也是一个无限不循环小数,又一个无理数。圆周率的定义直观浅显,是圆周长与直径的比值,而自然常数e 的大小是怎么得出的呢?

我们来虚拟一个生活场景——如何计算银行存款利息?

假如本金是1元,银行一年复利一次,年利率为100%,一年后的本息之和为:

1×(1100%)12(元)

如果银行一年复利2次,年利率为100%,一年后的本息之和是:

1×(1+100%/2)22.25(元)

如果银行一年复利4次,年利率为100%,一年后的本息之和是:

1×(1+100%/4)42.44140625(元)

如果银行一年复利12次,年利率为100%,一年后的本息之和是:

1×(1+100%/12)122.61303529(元)

我们发现,复利次数越多,一年之后的收益越高。如果复利次数越来越多,每天都在复利,那一年后的本息会无限增大吗?

如果银行一年复利365次,年利率为100%,一年后的本息之和是:

1×(1+100%/365)3652.71456748(元)

如果银行一年复利31536000次(每秒付利息),年利率为100%,一年后的本息之和是:

1×(1+100%/31536000)315360002.7182817813(元)

发现随着复利次数的增加,收益的增加在逐渐变缓。似乎心有不甘,折腾到现在,利息增加寥寥无几,难道没有突破吗?复利次数从有限走到无限,再试试。

如果银行一年复利无数次,年利率为100%,一年后的本息之和是:

1×(1+100%/)

1×(1+)

(1+)

这就是年利率为100%1元存款,当复利的次数趋于无穷时,本息之和的最大值。这个最大值是多少呢?是一个无限不循环小数,约为2.7182817813元。

虚拟场景中,即便穷其一生,无限复利,所得本息也不过如此,始终不会突破一个数(比如,2.72)。回到现实,我们把这个追逐利息的结果转述成一段数学语言:当n趋向无穷时,表达式(1n有一个极限值,我们把这个极限值称之为自然常数,用字母e表示。

自然常数e

 

至此,我们通过利息的计算找到了数学中e的“生活原型”,知道它是一个常数。那为什么称之为“自然常数”呢?它似乎并不见于日常,又“自然”在哪里呢?

回顾历史,我们的祖先起初认为世界是由天神上帝主宰的,随着思想的进化进步,慢慢地“自然”取代了“神灵”的位置,原来一切都是源于自然、道法自然。

在数学的发展史上,像123这样的数是用来描述日常事物数量的,显得非常“自然”,于是称其为“自然数”。这是一种非常朴素的自然观,但这种朴素的自然观也影响了人们的认识,以至于发现时,认为不可理喻,简直是无理,于是出现了“无理数”的名称。现在我们知道,其实无理数并非“无理”,它也是“自然”的。

分数、负数、无理数、虚数,它们都是来自于“自然”——现实的自然或数学发展的自然,只是人类认识的局限与表述的需要,冠之它们以不同的名称。当常数e成为数学家庭成员时,人们的认识已超越历史的羁绊,直接称之为“自然常数”。

自然常数e有什么意义呢?

其实自然常数e在自然科学中的应用并不亚于圆周率π。小到储蓄计算、生物繁殖,大到衰变规律、地球年龄测算等等,都离不开自然常数。特别是前文提到的“改变世界面貌的十个数学公式”中的齐奥尔科夫斯基公式,在计算火箭速度时必然要用到自然常数。

到此为止,了解了圆周率的历史,感受了虚数的创造,明晰了自然常数的意义。我们不去深究欧拉公式eiπ10的推演证明,重在领悟数学研究、发展、创造的意蕴。

数学经历了萌芽时期、常量时期、变量时期、现代数学时期,未来数学是什么呢?数学发展的趋势与动力是什么呢?

《数学文化概论》中有这样一段话:[7]

其一,数学更加追求自由的思维创造;其二,对数学自身构造和基础的关心;其三,数学的实践应用成为数学的一种重要的内在动力。

这段话启示我们:数学需要自由创造;数学需要构造基础;数学需要应用实践。

行文至此,发现这四个公式包含着:抽象、推理、模型;数与形;悖论和危机;有限与无限;直觉和想象;猜想及证明;生活、世界、宇宙。

品鉴领悟四个公式,它们有着不同的喻示:112,喻示着数学是真实的,数学是简洁的;324252,喻示着数学是联通的,数学是和谐的;anbncn,喻示着数学是自由的,数学是理性的;eiπ10,喻示着数学是思辨的,数学是创造的。

数学是美的,美在简洁,美在和谐。数学是理性的,在理性中思辨,在思辨中创造。数学是一种发明,是“发明”后的“发现”,也是“发现”中的“发明”。



[1] 陈士文,《字纸篓中的“智慧数学”》,江苏教育出版社,2013年,第14页。

[2]  宁正新,《思辨数学真谛》,中央编译出版社,2010年,第129页,有删节修改。

[3] 亚历山大洛夫等,《数学——它的内容,方法和意义》,科学出版社,2001年,第6页。

[4] 亚历山大洛夫等,《数学——它的内容,方法和意义》,科学出版社,2001年,第11页。

[5] 史宁中,《数学思想概论》第2辑,东北师范大学出版社,2009年,第184页。

[6] 史宁中,《数学思想概论》第3辑,东北师范大学出版社,2009年,第1页。

[7] 王宪昌、刘鹏飞、耿鑫彪,《数学文化概论》,科学出版社,2010年,第147页。

   
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