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大道至简:再议数学教学内容的结构化组织
作者:江苏省扬州市广陵区教育局教研室 石树伟 点击数:3601 更新时间:2014年2月13日 文章录入:智慧数学
   


大道至简:再议数学教学内容的结构化组织

(江苏省扬州市广陵区教育局教研室  225001

  要:数学知识结构是客观存在的,教学内容结构化组织对数学学习具有重要意义,当前教学内容结构化组织缺失的现象依然存在,必须加强数学教学内容的结构化组织:微观上追求教学内容板块化,中观上追求教学内容纵横化,宏观上追求教学内容网络化.数学教学内容结构化组织的关键在于教师“理解数学”的能力.

关键词:教学内容结构化;板块化;纵横化;网络化;理解数学

 

1  问题的提出

文[1]对数学教学内容的结构化组织进行了深入的实践研究.新课程改革已经十多年,在此背景下有必要再议数学教学内容的结构化组织.

11  数学知识结构是客观存在的






量子论创立者普朗克说:“科学是内在的统一体,它被分解为单独的部门不是由于事物的本质,而是由于人类认识能力的局限,实际上存在着从物理学到化学、人类学到社会学的连续链条”.数学的内在统一尤为显著,且不以人的意志为转移,例如复数系内数的六则运算的内在联系如图1所示.



12  教学内容结构化的意义

教学内容结构化组织有利于学生将数学知识结构内化为良好的数学认知结构.良好的数学认知结构具有简约性,有利于数学知识的记忆和存储、检索和应用;良好的数学认知结构具有迁移性,知识是能力形成的基础,但并不是所有知识都有助于能力的提升,并不是知识越丰富能力就越强,只有结构化的知识才对能力的形成起促进作用;良好的数学认知结构具有发展性,具有自我生长的活力, 容易在新情境中生成新知识、新方法、新思想.

13  教学内容结构化缺失的现象依然存在

    囿于教材编写的限制带来教学内容的分散性,囿于教学课时的限制带来教学过程的间断性,数学教学中一直存在着“数学知识的整体把握和局部认识之间的矛盾” [2].新课程倡导自主、合作、探究学习,但不少教师因过度强调“开放”而陷入“完全放开”,导致课堂教学缺少“核心主线”,学生学到的是一些零散的、缺乏有序组织的知识,教师忘记引领学生关注对知识的整体认识,影响了学生良好数学认知结构的形成.

综上所述,新课程背景下教师在教学设计时仍需注重教学内容的结构化组织,注意各章节、单元或同一课时中教学内容之间的相互联系,加强学习领域、模块或主题之间的整合,固点、串线、组面,帮助学生形成良好的认知结构.

2  教学内容结构化组织的层次和策略

21  微观上追求教学内容板块化

在知识点内部,也呈现着结构化关系.教师在进行课时教学设计时应认真分析构成这一知识点的各要素之间的关系,按照知识内部逻辑线索和学生认知规律,从整体出发,对教学内容进行“整”、“删”,整合教学内容,突出重点,明晰难点,抓住要点,删除非基础性、非结构性的教学内容,从而形成三至五个“教学板块”,以体现数学内在的整体性[3]

211  环环相扣,让教学脉络清晰

每个教学板块的侧重点可以不同,一般设计“概念——性质——应用——拓展”等教学板块,而概念教学可以设计“引入——本质属性归纳——下定义——辨析巩固”等教学板块,环环相扣,从而体现知识的内在线索.这里一定要让基本概念、基本原理等核心内容置于各板块的中心地位,让学生牢固掌握基本概念的本质属性和基本原理的普遍意义,同时也为以后构建知识结构做好“固点”铺垫.

案例1  初中数学“图形的旋转”板块设计.本节教学内容可分为四个板块:①旋转概念:观察、分析旋转实例归纳旋转定义,辅以辨别识图训练巩固概念;②旋转性质:自主探究归纳旋转性质,辅以性质应用巩固性质;③旋转作图:由简单到复杂应用旋转性质作图,给学生动手操作的机会;④旋转应用:欣赏旋转在图案设计中的美妙应用,感受数学美.

【评析】教材中图形的旋转一节知识点多,内容琐碎,通过板块化设计使琐碎的内容得到整合,课堂教学脉络清晰,知识结构明了,内在逻辑线索清楚,切合知识的发生发展过程和学生的认知规律,利于学生掌握和应用.

212  层层深入,让结构思维同振

每个教学板块的思维层次也可以不同,如小学数学(苏教版)“解决问题的策略”,中学数学“反证法”、“待定系数法”、“数学归纳法”等体现数学思想方法和策略的内容可以从“感知——提升——应用——感悟”四个层面进行设计,层层深入,避免思维的平铺直叙,同时以数学思想为主线统领知识方法,以体现数学内在的整体性

案例2  “用转化的策略解决问题”板块设计(苏教版小学数学第九册)[4]

板块一:回顾感知.

1. 回顾:平行四边形、三角形面积公式的推导过程和小数除法、分数除法的计算过程.

2. 小结:把“未知”转化为“已知”,揭示课题.

板块二:探索提升.

1. 1  这里有2幅图(图略),请你观察思考:谁的面积大?

学生分组合作探索比较两幅图面积的大小.引导学生思考:运用什么方法比较的?是怎么转化的?小结:不规则图形→规则图形

2. 计算:


学生尝试,教师引导用不同的方法计算(如图2).小结:同一道题还可以有几种不同的转化方法:异分母→同分母,算式→图形,加法→减法.

3. 小结:由“复杂”转化为“简单”.

板块三:拓展应用.

1. 练习:学生自主探索,体验用转化的策略解决问题.

2. 展评:展示学生作业并评议.

板块四:总结感悟.

1. 同桌交流:今天你学习了什么策略?你知道有哪些转化的策略?

2. 教师引导:引导学生感悟转化的思想,即把未知转化为已知,把复杂转化为简单.

【评析】本设计的四个板块从学生熟悉的转化策略的应用入手,逐步深入,转化的方法也不断推陈出新,由易到难,符合学生的思维特征.“转化思想”这根主线贯穿整个设计始终,让知识和方法得到有机融合,体现知识和方法内在的整体性.

22  中观上追求教学内容纵横化

按照教材逻辑顺序逐一教学组成知识结构的各部分知识时, 应改变传统的分散、孤立的教学方式,要始终把每堂课教学的知识置于整体的知识体系中,让学生明确意识到今天学习的知识是整体知识体系中的一个部分, 并知道该部分知识在整体中所处的地位, 从而让学生在一定的知识体系中更好地理解各部分知识[1].具体操作策略就是在课时教学设计时沟通知识之间在纵向或横向上的联系,让知识“串线”,体现教学内容的纵横化.

221  瞻前顾后,让来龙去脉清楚

《义务教育数学课程标准(2011年版)》明确指出,数学知识的教学,要注重知识的“生长点”与“延伸点”,处理好局部知识与整体知识的关系,引导学生感受数学的整体性.这就要求在组织教学内容时加强知识之间的纵向联系,让学生明白知识的来龙去脉.

案例3  初中数学“完全平方公式”教学流程[5]

1.探索活动:

1)前面已经学习了多项式的乘法,你能说说运算法则吗?运算的依据是什么?

2可以利用公式直接写出结果,它是时的特例.在中,你认为还有哪些特殊情形?你能得到什么?(完全放手让学生探究,学生的结论多种多样,包括完全平方公式和平方差公式)

3)完全平方公式有哪些特征?请你用自己的语言表述公式.

2.公式应用:例题与练习略.

3.几何解释:如果表示线段的长,则分别表示正方形的面积,你能根据公式形式,自己构造图形表示完全平方公式吗?

4.课堂小结:

1)请你说说公式的结构特点及应用时应注意的问题.

2)请你总结一下这节课讨论问题的基本过程.(从一般到特殊,考察特例)

3)能否循着上述思路,再提出一些值得研究的问题?

【评析】完全平方公式是多项式乘法时的特例,多项式乘法是完全平方公式的知识生长点.本课引导学生在多项式乘法基础上探究特例,切合知识的发生发展过程和内在的逻辑线索.课堂小结时引导学生反思公式的探索过程,有利于学生积累基本活动经验;鼓励学生继续探究特例(知识延伸点),有的学生提出推广次数,研究……,有的学生提出推广字母个数,研究,有利于培养学生发现和提出问题的能力.本课学生对完全平方公式知识的来龙去脉清清楚楚.

222  左顾右盼,让知识之间融通

有些知识之间在纵向的逻辑线索上没有必然的联系,但因为所蕴含的数学思想方法相同或知识的部分要素及表达形式相近而客观存在着一定的横向联系,应沟通这种联系,打破知识系统之间的封闭和保守,让学生头脑中形成一些内容充实、结构开放的数学知识结构.

有些知识之间数学思想方法的迁移力强,教师应引导学生类比学习,如类比一元一次方程的解法学习一元一次不等式的解法,类比角平分线或线段垂直平分线的集合定义学习圆的集合定义,类比学习能有效突破学习难点;有些知识之间容易混淆,教师应引导学生对比学习,如三角形的外心和内心(简称),可以从全称、图形、位置确定、性质等方面进行列表比较,指数函数、对数函数都可以从定义域、值域、图象、性质等方面进行列表比较,对比学习能有效厘清易混点.

案例4  两种圆锥曲线之间的横向联系及联想.类比椭圆学习双曲线后,可以引导学生继续进行联系和联想:设两定点间的距离为),到两定点距离之和等于定长)的点的轨迹是椭圆,到两定点距离之差等于定长)的点的轨迹是双曲线,椭圆和双曲线分别对应于四则运算中的加、减运算,有没有曲线对应于乘、除运算,是什么曲线?可以引导学有余力的学生进行研究.其实,对应于乘、除运算的曲线是存在的,到两个定点距离之比等于定值(定值)的点的轨迹是圆(阿波罗尼斯圆),到两个定点距离之积等于定值的点的轨迹是卡西尼卵形线(双纽线是其特例,此时[6]

【评析】通过圆锥曲线的横向联系及联想,学生既能掌握它们之间的联系与区别,又能充分体悟数学知识之间的内在统一,欣赏数学的简约美,同时也能充分感受到数学知识结构强大的自我生长活力,良好的知识结构能大大增强对未知世界的洞察力.

23  宏观上追求教学内容网络化

我国教材编写及教学的思路经历了由“部分——部分——整体”到“整体——部分——整体”的转变这种转变有利于学生对知识结构的整体把握.教师应充分利用教材的章引言与章小结,上好单元起始课和复习小结课,让知识“组面”,使教学内容网络化

231  开宗明义,让知识结构渗透

不少教师认为章引言可有可无,不影响学生对本章知识的理解和掌握,这种观点是错误的.教师应加强“先行组织者”的使用,上好单元起始课,激发学生学习兴趣,让学生了解本章内容概貌及本章主要数学思想方法和学习(研究)方法,提前渗透本章知识结构.

案例5  “二次函数”的先行组织者.

教师引言:我们今天开始学习二次函数的有关知识. 在研究反比例函数时,我们类比了一次函数的研究思路. 类似地,在具体研究二次函数之前,我们先概括一下反比例函数研究的问题、线索和基本方法,以便我们找到学习本章内容的大方向.

问题1:你能总结一下“反比例函数”一章研究的问题、过程与方法吗?

(通过回顾、交流、归纳得到“反比例函数”一章研究的问题:反比例函数的概念、图象、性质、应用;研究的过程:由实际问题抽象得到反比例函数概念,从而得到研究对象,研究反比例函数图象的目的是为了结合图象研究反比例函数的性质,最后利用反比例函数的图象和性质解决一些问题;研究的方法:主要是函数建模和数形结合.)

问题2:类比反比例函数的研究,你能勾画一下二次函数研究的问题、过程和方法吗?

【评析】问题1意图让学生明确一个类比对象,使学生了解函数研究的“基本套路”. 问题2通过类比,让学生对“二次函数”的内容有一个整体认识,在后续研究中能见木见林,同时给学生提供基本思想方法,从而增强学习的主动性.这样,通过“先行组织者”搭建研究框架,提前渗透本章知识结构.

232  归纳梳理,让知识结构明晰

复习小结课存在着注重通过解题训练巩固复习知识而不注重知识梳理的倾向,这是舍本逐末的错误行为.“磨刀不误砍柴工”,良好的知识结构是能力形成基础,因此复习小结应重视知识网络的归纳梳理,而且要搞好多层次的归纳梳理,除搞好单元知识归纳梳理外,还应注意引导学生进行跨越教材编排的时空界限、围绕一定主题的归纳梳理, 把在不同阶段学习的相关内容联系起来, 构成一个具有更大包摄性的知识系统.构建知识网络的过程中应引领学生注重数学思想的核心统领作用,构建一个既有肉体又有灵魂的数学知识结构.

案例6  “一元二次方程”及其相关主题的知识网络(如图3、图4、图5).

【评析】3是一元二次方程单元知识结构.图4初中代数方程的知识结构,一元二次方程是其子系统,转化思想是其灵魂.图5反映了“四个二次”(二次三项式、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)之间的关系,一般与特殊、数形结合思想是其灵魂.三幅知识结构图体现出对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解.

 


 

 

 

 

 

 

 

 


3  教学内容结构化组织的关键

教学内容结构化组织的关键在于教师“理解数学”的能力,即教师的“数学素养”:了解中小学数学课程结构体系,数学知识的背景,教学重点的知识,学生数学学习难点的知识;能准确地把握数学概念、定理、法则、公式等的逻辑意义,能深刻领悟内容所反映的数学思想方法,具有挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源的能力和技术,善于区分核心知识和非核心知识等[4].教师只有切实提高自己“理解数学”的能力,才能站在更高的高度、用更宽的视野做好教学内容的结构化组织.

 

参考文献:

1]“小学数学整体结构教学研究”课题组.小学数学整体结构教学的实验研究[J].课程•教材•教法,200008):25-30

2]李光树.小学数学教学论[M].北京:人民教育出版社20034-4

3]陈士文.板块、独立、反馈[J].辽宁教育,200710):41-42

4]陈士文.字纸篓中的“智慧数学”[M].南京:江苏教育出版社,201381-83

5]章建跃.中学数学课改的十个论题[J].中学数学教学参考,201005):2-5

6]徐章韬.制作动态几何课件的关键是什么[J].数学通报,201301):52-55

 

The greatest truths are the simplest

----A further discussion on structural organization of math teaching content

Shi Shuwei

(Teaching and research section 0f Guanglin Bureau of Education, Yangzhou, 225001)

Abstract:  This paper researches on the importance of structural organization of math teaching content, which is often neglected in practical mathematic teaching activities. The author proposes that the key point of structural organization of math teaching content lies on the teachers’ extent of their “understanding of math”. On microscopic level, the teaching content should be partitioned, on Mesoscopic level, be crisscrossed, and on macroscopic level, be systemized like a network.

 

Keywords: Structural organization of teaching content, partitioned, crisscrossed, networked, understanding of math

 

注:本文发表于核心期刊《数学通报》2014年第1.

   
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