数学的四个公式

智慧数学研究所    陈士文

数学学习，从小学开始，升入初中，再读到高中，十二年的学习历程，遇到的数学公式数以百计。

公式如此之多，而“数学的目的就是用简单而基本的词汇尽可能多地解释世界……如果我们积累起来的经验要一代一代地传下去的话，我们就必须不断地努力把它们加以简化和统一。”（英国数学家阿蒂亚语）这促使我们一直在思索：

根本性、基础性的数学公式是什么？

代表性、典型性的数学公式是什么？

影响世界或改变历史的数学公式是哪些？

记忆深刻或印象美好的数学公式是哪些？

回望历史，已有先知先觉者的记载：一是英国杂志社发起（具体年份待考）的“最伟大的公式”评选，二是1971年尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”的邮票。

英国科学期刊《物理世界》曾发起世界“最伟大的公式”投票活动，全球读者按照典雅性、引申力和影响力的投票要求，选出他们认为最重要、最伟大的公式和定理。[1]

最终榜上有名的十个公式是：

1. 麦克斯韦方程组；

2. 欧拉公式；

3. 牛顿第二定律；

4. 勾股定理（毕达哥拉斯定理）；

5. 质能方程；

6. 薛定谔方程；

7. 1＋1＝2；

8. 德布罗意方程组；

9. 傅立叶变换；

10. 圆的周长公式。

作为一名小学数学教师，限于知识结构水平及教学工作中能触及到的学科领域，感觉最为亲切、最为熟知的公式也许是下面四个，即：

1. 1＋1＝2；

2. 勾股定理（毕达哥拉斯定理）——a²＋b²＝c²；

3. 圆的周长公式——C＝2πr；

4. 欧拉公式——e^iπ＋1＝0。

没有想到1＋1＝2也是数学公式，而且排名居然位列第七。圆的周长公式其实并不伟大，因为圆周率就是周长与直径的比值，自然得出C＝2πr，真正伟大的是圆周率的研究与发现（后文再叙）。勾股定理确实历史久远，而且是中外呼应，不约而同地引起数学家们广泛的兴趣。最具魅力的公式是e^iπ＋1＝0，以至于当高斯见到欧拉公式时也惊奇道：“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力，他不可能成为数学家。”

我们不是数学家，只是想从一名小学数学教育工作者的角度来品鉴数学公式，领悟数学，上述四个公式还不完全是此篇文稿所要表述的四个数学公式。

我们再来回望历史，1971年5月15日，尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”的邮票，用来表彰对世界发展极有影响的数学公式，它们由一些著名的数学家选出，这十个数学公式分别是：[2]

1. 手指计数基本法则

“1+1=2”是这套邮票的第一枚邮票，这是人类一开始对数量认识的基础公式。人类的祖先就是从这一公式开始，堆石子，数贝壳、树枝、竹片，而后刻痕计数，结绳计数等，直至再后来创造文字、数字及计数工具算盘、筹算、计算器等。记数法与十进制的诞生是文明史上的一次飞跃。

2. 勾股定理（毕达哥拉斯定理）

直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，则a²＋b²＝c²,这就是著名的勾股定理,国外称之为“毕达哥拉斯定理”。勾股定理的一大影响就是无理数的发现。

3. 阿基米德杠杆原理

第三枚邮票表彰的数学公式是：F₁X₁＝F₂X₂,其中F为作用力，X为力臂，FX即为力矩。只要动力臂足够长，而阻力臂足够短，就可以用足够小的力撬动足够重的物体。为此，阿基米德曾放言：“给我一个支点，我就能撬动地球。”

4. 纳皮尔指数与对数关系公式

对数关系公式即为纳皮尔公式，其中e＝2.71828……对数的发明者是苏格兰业余数学家纳皮尔男爵。伽利略有过这样的感慨：“给我时间、空间和对数，我可以创造出一个宇宙来。”

5. 牛顿万有引力定律

第五枚邮票立即使人联想到那个早已家喻户晓的牛顿和苹果的故事，一个苹果偶然从树上掉下来，这却是人类思想史的一个转折点，牛顿发现了对人类具有划时代意义的万有引力定律。

6. 麦克斯韦电磁方程组

第六个公式是麦克斯韦电磁方程组，麦克斯韦是继法拉第之后集电磁学大成的伟大物理学家。

7. 爱因斯坦质能关系式

E＝mc²，这里c为光速，m为质量，E为能量。这就是后来最著名的质能关系式，是制造原子弹的理论基础。

8. 德布罗意公式

第八枚邮票表彰的公式是1924年德布罗意提出的表达波粒二象性的公式。德布罗意本来是学历史的，受数学家庞加莱的影响而改学科学，为波动力学的发展提供了重要的理论基础。

9. 玻尔兹曼公式

1854年德国科学家克劳修斯首先引入熵的概念，1877年，玻尔兹曼给出公式S＝kLnW。由于观点新颖，一开始不为许多著名学者接受，玻尔兹曼为之付出了巨大的代价，成为他个人悲剧(自杀)的重要原因。后人把玻尔兹曼公式刻在他的墓碑上，以表彰他的伟大创见。

10. 齐奥尔科夫斯基公式

齐奥尔科夫斯基（前苏联）是宇航理论先驱者，他建立了火箭结构特点与飞行速度之间的关系式，即著名的齐奥尔科夫斯基公式。他有一句令人难忘的话语：“地球是人类的摇篮，但是人不能永远生活在摇篮里。”

历史和现实都在见证着：十个数学公式改变了世界面貌。绝对是“文明史上的飞跃”“划时代意义”，世界的进步与发展犹如“撬动地球”“创造出一个宇宙”，未来人类“不能永远生活在摇篮里”，一定可以走出地球。

有了“最伟大的公式”的民间评选，也有了数学家们推出的“改变世界面貌的十个数学公式”，两者结果加以比照，发现“最伟大的公式”与“改变世界面貌的十个数学公式”中共同入选的有五个公式，即：

1. 1＋1＝2；

2. 勾股定理（毕达哥拉斯定理）；

3. 麦克斯韦方程组；

4. 德布罗意方程组；

5. 质能方程。

我们发现五个公式中，麦克斯韦方程组、德布罗意方程组、质能方程三个公式是物理学领域的，狭义的看，数学公式只有两个：1＋1＝2和勾股定理（毕达哥拉斯定理）。

普通读者的民意，数学家们的高见，人们可以从浩繁中淘漉出“伟大的公式”和“改变世界面貌的公式”来，这给了我们更多的启示，回顾十二年的数学学习，想到了四个数学公式，它们是：

1. 1＋1＝2；

2. 3²＋4²＝5²；

3. aⁿ＋bⁿ＝cⁿ；

4. e^iπ＋1＝0。

为什么想到它们四个呢？当我们打开《数学——它的内容，方法和意义》一书时，发现其中有这样一段发问：[3]

抽象的数学概念反映什么东西？换句话说，数学的现实对象是怎样的？

为什么抽象的数学结论如此令人确信无疑，而原始的概念又如此显然？换句话说，数学方法的基础是什么？

为什么数学尽管如此抽象，却有最广泛的应用，而不是空洞的抽象把戏？换句话说，数学的意义从何而来？

最后，什么样的力量推动数学的发展，使它把抽象性和应用的广泛性统一起来？换句话说，数学发展过程的内容是什么？

四个问题直指数学的现实对象、数学的发展过程、数学的意义、数学的方法，书中的发问引发了我们的思考：数学是什么？数学为什么？数学怎么样？数学从哪里来？数学将何处去？除了引经据典洋洋洒洒地阐述外，能否有简洁明晰的回答方式？能否寻找朴素的元素来表达数学的意蕴？

我们想到了公式，因为公式是数学独特的“语言”，我们试图借用1＋1＝2、3²＋4²＝5²、aⁿ＋bⁿ＝cⁿ、e^iπ＋1＝0四个公式，品鉴领悟数学的本质。

品鉴领悟：1＋1＝2

1＋1＝2绝对是数学中最简单的公式，简单的背后蕴藏着奇崛与艰辛，正如王安石诗句所云：“看似寻常最奇崛，成如容易却艰辛。”

从数石子摆小棒到刻痕，由原始之物走向人工记号。从冗长笨拙的罗马数字到简明有限的印度数字（阿拉伯数字），由繁琐庞杂走向简洁系统。当人们从“一条”“一根”“一片”“一张”“一块”“一丝”“一组”“一行”“一个”……中抽出“1”的时候，已完成从“量”到“数”的飞跃。“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了。”（英国数学家罗素语）所有这一切包含着人类思维艰辛而又漫长的进化。

1＋1＝2到底奇崛在何处？一是数学的抽象，二是数学的创造。这里可借用《数学——它的内容，方法和意义》一书中的话语：[4]

第一，数字符号的作用就在于它们给出了抽象数概念的简单的具体化身。

第二，数字符号给出了非常简单地实现各种数字运算的可能性。

如果没有合适的数字符号就不能将算术推向前进。尤其是如果没有专门的符号和公式简直就不可能有现代数学。

现在，我们可以简单而又武断的说，没有1＋1＝2，就没有数学。 “数学在本质上研究抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象，这种抽象了的东西就是数学研究所必须定义的最基本的概念。”[5]

抽象、推理、模型是数学三大基本而又主要的思想，“通过抽象把外部世界引入数学，通过推理促进了数学本身发展。[6]”通过模型建立了数学与世界的联系。

1＋1＝2是数学最早的杰作，堪称抽象、推理、模型三大数学思想的代表，抽象有了数字：1和2；推理出现了等式：等于符号；并还建立了联系世界的最基本的结构：加法。

品鉴领悟：3²＋4²＝5²

勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理，是数形结合思想的典型体现，其中最著名的例子是“勾三股四弦五”（如图）。从图中可以看出，直角三角形的内切圆半径是1，直径是2。数字1、2、3、4、5，如天意一般齐聚在三角形中。

在商高时代古人就已经知道“勾三股四弦五”的关系，中国古代称短的直角边为勾，长的直角边为股，斜边为弦。据西汉时期算书《周髀算经》记载，约公元前1100年，人们已经知道如果勾是三，股是四，那么弦就是五，即：3²＋4²＝5²。

严格意义上讲，3²＋4²＝5²只是一个等式而非公式，是一个个例而不是通项公式，当a²＋b²＝c²出现时方能称其为勾股定理。

第二个公式为何是3²＋4²＝5²，而不是a²＋b²＝c²呢？因为“勾三股四弦五”几乎是勾股定理的别称，3²＋4²＝5²作为勾股定理的最早代表，有着特别的意义。

其一，3²＋4²＝5²数中有形，不是简单的测量和测算中的从“数”到“形”（或从“形”到“数”），而是数与形的和谐，是最简洁最直观的“数形结合”思想的体现，是研究拓展的开始，从此人类思维联结了“数量关系”与“空间形式”两大数学领域。

其二，3²＋4²＝5²是勾股定理的范例，它已成为人类智慧语言的符号。数学家华罗庚先生曾建议用“勾三股四弦五”图作为语言发射到宇宙太空，用以寻找茫茫星空中的智慧生命。

起初：古希腊数学家毕达哥拉斯从地砖图案中得到启发，发现了勾股定理；后来：西方人希帕索斯根据勾股定理发现了第一个无理数，导致第一次数学危机；现在：勾股定理图已作为智慧的象征和宇宙的语言。

品鉴领悟：aⁿ＋bⁿ＝cⁿ

当3²＋4²＝5²转换升级成a²＋b²＝c²时，字母替代了数字。字母表示数，标志人类由算术到代数的飞跃，字母的出现有着里程碑式的意义。

从3²＋4²＝5²到a²＋b²＝c²，诞生了一个数学定理，而当aⁿ＋bⁿ＝cⁿ出现时，诞生了一个世界数学猜想——费马猜想。费马猜想、四色猜想、哥德巴赫猜想被公认为世界三大数学猜想。

费马猜想是怎么回事呢？

法国数学家费马在阅读丢番图《算术》时，曾在空白处写有这样一段话：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”

费马断言当整数n＞2时，方程aⁿ＋bⁿ＝cⁿ没有正整数解。由于费马没有写下证明，因而断言成为了猜想。

如果没有猜想呢？数学家希尔伯特说：“只要一门科学分支提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰亡。”没有猜想就预示着“终止或衰亡”。

数学上的猜想不同于文学上腾云驾雾的神话，猜想的“飞天”之路，不是借助天然的云雾，而会创造出诸如火箭、飞船、空间站式的杰作。猜想的求证过程有着“下金蛋”般的收获。

三大数学猜想中最早出现的是费马猜想，它是a²＋b²＝c²的直觉激发，猜想引发了许多数学家的兴趣，数学家们的工作丰富了数学，推动了数学的发展。猜想历经三百多年后，最终由英国数学家安德鲁•怀尔斯证明时，已是1995年。至此，猜想也改称费马大定理。从猜想到定理，数学的发展需要想象，数学的推动离不开证明。“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙地结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向。”（伊恩•斯图加特语）

品鉴领悟：e^iπ＋1＝0

欧拉公式e^iπ＋1＝0，自然是数学家欧拉发现的公式，这也是唯一以欧拉命名的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”，“上帝”在公式中创造了什么呢？

1. 公式中有自然常数e；

2. 公式中有圆周率π；

3. 公式中有虚数单位i和自然数单位1；

4. 公式中有中心数0；

5. 公式中有最基础的运算符号“＋”；

6. 公式中有最重要的关系符号“＝”。

我们发现欧拉公式联系着几乎所有的数学知识，堪称世界上“最伟大的数学公式”和“最完美的数学公式”，它是最令人着迷的一个公式，迄今为止，没有之一。

在这个“上帝创造的公式”中有三个字母，即圆周率π、虚数单位i、自然常数e，它们从哪里来？又有什么意义呢？

圆周率的历史。

圆周率是一个常数，是圆周长和直径的比值，其结果是无限不循环小数，是一个无理数。

公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，他先从圆内接正六边形开始，逐次分割，一直算到圆内接正192边形。其过程与追求正如刘徽自述：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”

公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步推进研究，圆周率π已精确到小数点后7位，界定在近似值3.1415926与3.1415927之间，并还给出了两个近似分数，即圆周率π约率和圆周率π密率。

现代人借助计算机已能轻松地得到圆周率小数点后任意多位， “精确”已不是现实的需要。

回顾圆周率的历史，不只是欣赏圆周率小数点后位数的增多，而是品鉴圆周率在数学上的独创之处。圆周率的出现，我们从“直”逼近到“曲”，实现了方与圆的沟通，曲与直的转换。圆周率研究中的“割圆术”，是人类历史上首次将极限和无穷小引入数学，人类的思维从有限伸展到无限之中。

虚数的创造。

“虚数”这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔首创的，当时的观念认为这是不存在的数字，后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。德国数学家莱布尼茨曾这样说：“虚数是理想世界的奇异创造，是一个介于存在与不存在之间的两栖物。” 从数的扩展进程看，虚数不“虚”。藉此说明：数学是“发明”后的“发现”。

虚数如何“发明”？又怎么自然“发现”？对此，我们设计了这样一个教学片段。

师：同学们，小学的时候，3－2我们都会，如果2－3怎么办？引进了一个什么新数？

生：2－3＝－1，这时我们知道了负数。

师：负数的出现，自然数系扩充为整数系，保证了减法运算的封闭性。

师：同学们，小学的时候，10÷2我们也会，如果10÷3是怎么办的？这时出现了一个什么新数？

生：10÷2＝5，结果是自然数，10÷3＝，这时分数出现了。

师：分数的出现，整数系扩充为有理数系，保证了除法运算的封闭性。

师：有理数中，4的开方是2,8的开方是多少呢？你发现了什么？

生：8的开方是2，这时无理数出现了。

师：无理数的出现，保证了开方运算的封闭性，有理数系扩充为实数系。

师：8的开方是2，那－8的开方是多少呢？它好开方吗？

生：不好开方。

生：负数没有办法开方。

师：真的没有办法？2－3时，我们怎么办的？10÷3时，我们怎么办的？8的开方，我们怎么办的？难道－8的开方就没有办法？

生：引进一个新数或者是创造出一个数，使它的平方等于－1。

师：对，我们曾经引进过负数、分数、无理数，今天我们再引进一个新数。

师：引进一个新数，新数的单位是i，i的平方等于－1。那是多少呢？

生：＝i。

师：＝？

……

师：我们创造出一个数，称之为虚数。虚数的出现，保证了负实数开方运算的封闭性，实数系扩充为复数系。

虚数不同于自然数那样，是从现实世界中抽象出来的，而数学的内部发展与思辨特征自然会出现虚数，这正如恩科斯所说：“当达到理性本身自由创造和想象的产物，这就是——达到虚数。”

教学片段中虚数的引入是在回顾人类数学创造的历史进程，数学是彻头彻尾的创造，是在描述世界解释世界之上的思维创造。

自然常数的意义。

自然常数e，约为2.71828，也是一个无限不循环小数，又一个无理数。圆周率的定义直观浅显，是圆周长与直径的比值，而自然常数e 的大小是怎么得出的呢？

我们来虚拟一个生活场景——如何计算银行存款利息？

假如本金是1元，银行一年复利一次，年利率为100%，一年后的本息之和为：

1×(1＋100%)¹＝2（元）

如果银行一年复利2次，年利率为100%，一年后的本息之和是：

1×(1+100%/2)²＝2.25（元）

如果银行一年复利4次，年利率为100%，一年后的本息之和是：

1×(1+100%/4)⁴＝2.44140625（元）

如果银行一年复利12次，年利率为100%，一年后的本息之和是：

1×(1+100%/12)¹²≈2.61303529（元）

我们发现，复利次数越多，一年之后的收益越高。如果复利次数越来越多，每天都在复利，那一年后的本息会无限增大吗？

如果银行一年复利365次，年利率为100%，一年后的本息之和是：

1×(1+100%/365)³⁶⁵≈2.71456748（元）

如果银行一年复利31536000次（每秒付利息），年利率为100%，一年后的本息之和是：

1×(1+100%/31536000)^31536000≈2.7182817813（元）

发现随着复利次数的增加，收益的增加在逐渐变缓。似乎心有不甘，折腾到现在，利息增加寥寥无几，难道没有突破吗？复利次数从有限走到无限，再试试。

如果银行一年复利无数次，年利率为100%，一年后的本息之和是：

1×(1+100%/∞)^∞

＝1×(1+)^∞

＝(1+)^∞

这就是年利率为100%的1元存款，当复利的次数趋于无穷时，本息之和的最大值。这个最大值是多少呢？是一个无限不循环小数，约为2.7182817813元。

虚拟场景中，即便穷其一生，无限复利，所得本息也不过如此，始终不会突破一个数（比如，2.72）。回到现实，我们把这个追逐利息的结果转述成一段数学语言：当n趋向无穷时，表达式（1＋）ⁿ有一个极限值，我们把这个极限值称之为自然常数，用字母e表示。

 

至此，我们通过利息的计算找到了数学中e的“生活原型”，知道它是一个常数。那为什么称之为“自然常数”呢？它似乎并不见于日常，又“自然”在哪里呢？

回顾历史，我们的祖先起初认为世界是由天神上帝主宰的，随着思想的进化进步，慢慢地“自然”取代了“神灵”的位置，原来一切都是源于自然、道法自然。

在数学的发展史上，像1、2、3这样的数是用来描述日常事物数量的，显得非常“自然”，于是称其为“自然数”。这是一种非常朴素的自然观，但这种朴素的自然观也影响了人们的认识，以至于发现时，认为不可理喻，简直是无理，于是出现了“无理数”的名称。现在我们知道，其实无理数并非“无理”，它也是“自然”的。

分数、负数、无理数、虚数，它们都是来自于“自然”——现实的自然或数学发展的自然，只是人类认识的局限与表述的需要，冠之它们以不同的名称。当常数e成为数学家庭成员时，人们的认识已超越历史的羁绊，直接称之为“自然常数”。

自然常数e有什么意义呢？

其实自然常数e在自然科学中的应用并不亚于圆周率π。小到储蓄计算、生物繁殖，大到衰变规律、地球年龄测算等等，都离不开自然常数。特别是前文提到的“改变世界面貌的十个数学公式”中的齐奥尔科夫斯基公式，在计算火箭速度时必然要用到自然常数。

到此为止，了解了圆周率的历史，感受了虚数的创造，明晰了自然常数的意义。我们不去深究欧拉公式e^iπ＋1＝0的推演证明，重在领悟数学研究、发展、创造的意蕴。

数学经历了萌芽时期、常量时期、变量时期、现代数学时期，未来数学是什么呢？数学发展的趋势与动力是什么呢？

《数学文化概论》中有这样一段话：[7]

其一，数学更加追求自由的思维创造；其二，对数学自身构造和基础的关心；其三，数学的实践应用成为数学的一种重要的内在动力。

这段话启示我们：数学需要自由创造；数学需要构造基础；数学需要应用实践。

行文至此，发现这四个公式包含着：抽象、推理、模型；数与形；悖论和危机；有限与无限；直觉和想象；猜想及证明；生活、世界、宇宙。

品鉴领悟四个公式，它们有着不同的喻示：1＋1＝2，喻示着数学是真实的，数学是简洁的；3²＋4²＝5²，喻示着数学是联通的，数学是和谐的；aⁿ＋bⁿ＝cⁿ，喻示着数学是自由的，数学是理性的；e^iπ＋1＝0，喻示着数学是思辨的，数学是创造的。

数学是美的，美在简洁，美在和谐。数学是理性的，在理性中思辨，在思辨中创造。数学是一种发明，是“发明”后的“发现”，也是“发现”中的“发明”。